viernes, 22 de mayo de 2015

Unidad 4. Tópicos Complementarios de Diferenciación.


4.1 Derivadas de Funciones Logarítmicas.

 Una función se llama logarítmica cuando es de la forma y = log a x donde la base a es un número real y positivo pero distinto de 1, puesto que el resultado sería 0.

 La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.Derivada de una función logarítmica
Como cambio de base, también se puede expresar así:Derivada de una función logarítmica
Video de como Derivar Funciones Logarítmicas:

4.2 Derivadas de Funciones Diferenciables.

Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h.
La diferencial de una función se representa por dy.
Diferencial
Diferencial
Interpretación geométrica
Diferencial de una funciónDiferencialDiferencial
La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable.

Video de como derivar Funciones Diferenciables:

4.3 Diferenciación Implícita.


   Funciones implícitas
Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.
Derivadas de funciones implícitas
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:
x'=1.                                                               En general y'≠1.                                                 Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.
Derivar las funciones:
1. Derivación implicita                      Derivación implicita
2. Derivación implicita            Derivación implicita
Video de como realizar la Diferenciación Implícita:                      https://www.youtube.com/watch?v=oneC1gsSQaM
4.4 Diferenciación Logarítmicas.
Con determinadas funciones, especialmente para la función potencial-exponencial, es aconsejable el empleo de la derivación logarítmica, ya que facilitan bastante el cálculo.
       4.5 Derivadas de Orden Superior.    
Si $f$ es una función diferenciable, es posible considerar su función derivada como: 
$f'=\{(x,y)/\;y=D_{x}f(x)\}$ para $x$ en el dominio $M$ de $f$. 
Si para algunos valores $x \in M$ existe el $\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}}}$ se dice que existe la segunda derivada de la función $f$ que se denota por $f''(x)$ o $D_{x}^{2}f(x)$, que equivale a $D_{x}[D_{x}f(x)]$. O sea, la segunda derivada de la función $f$ se obtiene derivando la primera derivada de la función. 
Ejemplos: 
  1. Si $f(x)=5x^{3}+6x^{2}-5x+1$ entonces: $f'(x)=15x^{2}+12x-5$ y 
    $f''(x)=30x+12$ 
  2. Si $\displaystyle{g(x)=\frac{x^{2}+3x}{x-1}}$ entonces: $\displaystyle{g'(x)=\frac{(x-1)(2x+3)-(x^{2}+3x)}{(x-1)^{2}}=\frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}}$ y derivando nuevamente 
    $\displaystyle{g''(x)=\frac{(x-1)^{2}(2x-2)-(x^2-2x-3)2(x-1)}{(x-1)^{4}}}$
    $=\displaystyle{\frac{(x-1)^{2}(2x-2)-(x^{2}-2x-3)2(x-1)}{(x-1)^{4}}}$
    $=\displaystyle{\frac{(x-1)[(x-1)(2x-2)-(x^{2}-2x-3)]}{(x-1)^{4}}}$ 
    Por tanto $\displaystyle{g''(x)=\frac{8}{(x-1)^{3}}}$ 
Video de como hacer las Derivadas de Orden Superior:

4.6 Diferenciables.

Sea f(x) una función derivable. Diferencial de una función correspondiente
al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h. Se representa por dy.
Diferencial
Diferencial
Diferencial de una función
Diferencial
Diferencial
Video de como solucionar una Ecuación Diferencial:

4.7 Aplicaciones a las Ciencias Económico Administrativas: Costo Marginal, Ingreso Marginal, Utilidad Marginal, Propensión Marginal al Consumo y Propensión Marginal al Ahorro.
Costo Marginal:

Ingreso Marginal:


Utilidad Marginal:


Propensión Marginal al Consumo y al Ahorro:


Lo que aprendí en la Unidad 4°:

En esta unidad aprendí a obtener las derivadas de las funciones logarítmicas y de las funciones exponenciales; después de esto aprendimos a sacar la diferenciación implícita, y la logarítmica; aprendimos a obtener las derivadas de orden superior, y a obtener diferenciales; y al igual que en la unidad 3° vimos como aplicar las derivadas en costo marginal, ingreso marginal y utilidad marginal; propensión marginal al consumo y al ahorro.





                   



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Unidad 3. Derivada de una Función.


3.1 Definición de la Derivada.

La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.
derivada
Interpretación geométrica
       3.2 Diferenciación de Funciones                                                           por Incrementos.
Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una función 
correspondiente al incremento h de la variable independiente,
es el producto f'(x) · h.
La diferencial de una función se representa por dy.
Diferencial
Diferencial

Interpretación geométrica

Diferencial de una función
Diferencial
Diferencial
La diferencial en un punto representa el incremento de la 
ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de
la variable.
3.3 La Derivada como Razón                                                           de Cambio
Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo
  • El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)
  • La cantidad de dinero en una cuenta en un banco
  • El volumen de un globo mientras se infla
  • La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje
El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+"t, es el incremento
La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio "Q en Q con respecto del cambio "t en t, por lo que es el cociente
Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando "t!0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es
'Razón de cambio'
Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea deQ=f(t) es la derivada
'Razón de cambio'
    3.4 Diferenciabilidad                                                             y Discontinuidad.

 Derivada; Diferenciabilidad 
La derivada de una función f en el punto a en su dominio se define por
    f'(a)=lim
    h0
    f(a+h) - f(a)

    h
Decimos que la función f es diferenciable en el punto a en su dominio si f'(a) existe.
Diferenciable en un subconjunto del dominio
La función f es diferenciable en el subconjunto S de su dominio si es diferenciable en cada punto de S.
Nota
Una función puede fallar ser diferenciable en el punto a silim
h0
f(a+h) - f(a)

h
no existe, o es infinito.
En el primer caso, a veces tenemos una cúspide en la gráfica, y en el último caso, obtenemos un punto de tangencia vertical.
Discontinuidad:
Si alguna de las tres condiciones continuidad de no se cumple, la función es discontinua en un punto.

función discontinua
La función es discontinua porque en x = 2 no existe imagen.
función discontinua

función discontinua
La función es discontinua porque en x = 2 no tiene límite, 
ya que no coinciden los límites laterales..

3.5 Reglas básicas de derivación: la derivada de una constante, de una constante por una función, de suma o resta de funciones, y del producto o del cociente de funciones.

1° La Derivada de una Constante:
La derivada de una constante es cero.

Ejemplo

Cálculo de derivadas
Cálculo de derivadas

2° Derivada de una Constante por una Función.
La derivada del producto de dos funciones es igual al                                                          primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor.                                     
Derivada de un producto

Derivada de una constante por una función

La derivada del producto de una constante por una función                                                  es igual al producto de la constante por la derivada de la función.

Ejemplos

Cálculo de derivadasCálculo de derivadas

cálculo de derivadas
cálculo de derivadas
3° Derivada de Suma y Resta de Funciones.
La derivada de una suma de dos funciones es igual a la                                                      suma de las derivadas de dichas funciones.
Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos,                                                       ya sean positivos o negativos.

Ejemplos

cálculo de derivadas
cálculo de derivadas

cálculo de derivadas
cálculo de derivadas

cálculo de derivadas
cálculo de derivadas
Video Tutorial de Derivada de una Suma y Resta                                                    de Funciones:                                                                           https://www.youtube.com/watch?v=6R_aS5lcZm4

4° Derivada de Multiplicaciones y Divisiones de                                           Funciones.
La multiplicación de dos funciones f y g es otra función f ·g, cuyas imágenes se obtienen multiplicando                         
Si las funciones vienen definidas por una fórmula, la función resultante tiene como expresión analítica el             
Por ejemplo, sean f(x) = x + 2 y g(x) = x2, entonces la función producto es                                                               


     


 La división de dos funciones f y g es otra función f /g, cuyas imágenes se obtienen dividiendo las imágenes de                                                                           f y g, siempre que la imagen de g sea distinto de 0.
Si las funciones vienen definidas por una fórmula, la función resultante tiene como expresión analítica la                                                                                 división de dichas fórmulas, excepto para los valores de x en que g(x) es cero, pues para dichos valores                                                                                     no existe la función división.
Sean f(x) =x3 + 2 y g(x) = x2. La función división f/g es:
El dominio de definición de esta función es R - {0}, es decir está definida para cualquier valor de x excepto                                                                                  para x = 0.
En la siguiente escena puedes ver las gráficas de estas tres funciones f(x) , g(x) y h(x) = f(x)/h(x).

                      3.6 La Regla de la Cadena y de la Potencia.

La regla de la cadena es la fórmula resultante de la                                                   derivada de la composición de funciones.

Ejemplos

cálculo de derivadas
cálculo de derivadas

cálculo de derivadas
cálculo de derivadas

cálculo de derivadas
cálculo de derivadas

cálculo de derivadas
cálculo de derivadas
Video acerca de la Regla de la Cadena:
https://www.youtube.com/watch?v=m_APcwjkup8

Regla de la Potencia:

Regla de Potencias

La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.

3.7 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro.

Costo Marginal:

Ingreso Marginal:


Utilidad Marginal:


Propensión Marginal al Consumo y al Ahorro:


Lo que aprendí de la Unidad 3°:

Durante esta unidad vimos lo que era la derivada, hicimos diferenciación de funciones por incrementos; utilizamos a la derivada como razón de cambio; vimos lo que era la diferenciabilidad y la continuidad; aprendimos las reglas básicas de la derivada al realizar una suma o resta de funciones y también cuando se multiplican o se dividen funciones; vimos la regla de la cadena y de la potencia; y aprendimos a usarlas como en el costo marginal, el ingreso marginal, la utilidad marginal; y vimos la propensión al consumo y al ahorro.
















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